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Spaces of convex n-partitions
León, Emerson

Main titleSpaces of convex n-partitions
Title variationsRäume der konvexen n-Aquipartitionen
Author(s)León, Emerson
Place of birth: Bogotá
1. RefereeProf. Günter M. Ziegler
Further Referee(s)Prof. Thorsten Theobald
Keywordsconvex; polyhedral; partition; spaces; spherical; geometry; equipartitions; face structure; hyperplanes; regular partitions
Classification (DDC)510 Mathematics
SummaryWir betrachten den Raum $\C(\R^d,n)$ aller Aufteilungen von $\R^d$ in $n$ konvexe Gebiete für positive $d$ und $n$.
Dafür entwickeln wir grundlegende Konzepte und Definitionen, untersuchen allgemeine Eigenschaften und betrachten verwandte Räume sowie
Beispiele.

Zunächst entwickeln wir dafür die benötigten Konzepte der Konvexgeometrie.

In Kapitel 3 definieren wir konvexe $n$-Aufteilungen und zeigen, dass die Teile immer Polyeder sind. Dann definieren wir
sphärische Aufteilungen und Seitenhalbordnungen und leiten grundlegende Strukturergebnisse ab.

Kapitel 4 beschäftigt sich mit dem Raum $\C(\R^d,n)$ aller konvexen $n$-Aufteilungen des~$\R^d$. Wir beschreiben eine Metrik und damit eine Topologie auf diesem Raum, sowie eine natürliche Kompaktifizierung $\C(\R^d,\le\! n)$, für die auch leere Teile erlaubt sind. Wir stellen den Raum der $n$-Aufteilungen dann auf zwei Weisen als eine Vereinigung von semialgebraischen Teilmengen dar: Wir betrachten Hyperebenenarrangements, die Auf\-teilungen induzieren, und beschreiben $\C(\R^d,n)$ so in Abhängikeit von den Hyperebenen, die die Aufteilung erzeugen.
Für die zweite Beschreibung führen wir Knoten und Knotensysteme ein, die Eckenmengen verallgemeinern, und definieren den kombinatorischen Typ einer Aufteilung. Diese kombinatorischen Typen ergeben semialgebraische Teile, aus denen die Räume aufgebaut sind (Theorem \ref{semialgebraic}).
Am Ende des Kapitels beschreiben wir wir explizit die Räume der $n$-Aufteilungen von $\R^d$ und ihre Kompaktifizierungen für $n=2$ und für $d=1$.

In Kapitel 5 diskutieren wir reguläre Aufteilungen.
Wir berechnen die Dimension des Raums der regulären Aufteilungen $\C_{\reg}(\R^d,n)$. Dann beweisen wir einen Universalitätssatz, wonach die Realiserungsräume regulärer Partitionen zu beliebigen primären basischen semialgebraischen Mengen stabil äquivalent sein können.

In Kapitel 6 untersuchen wir die Dimension von Realisierungsräumen. Im Fall $d=2$ ist die Dimension von $\C(\R^{2},n)$ für große $n$ viel größer als $\dim (\C_{\reg}(\R^{2},n))$.
Dann konzentrieren wir uns auf den Fall $d=3$, wo wir vermuten, dass die Dimension von $\C(\R^{3},n)$ mit der Dimension von $\C_{\reg}(\R^{3},n)$ übereinstimmt, und versuchen das mit einer Heuristik für die Zahl der Freiheitsgrade und damit der Dimensionen der Realisierungsräume zu untermauern.

In Kapitel 7 führen wir die Räume von Äquipartitionen $\C^{\equi}(\R^d,n,\mu)$ für beschränkte positive Maße $\mu$ ein. Wir untersuchen die topologische Struktur für einige kleine Fälle und beschreiben, darauf aufbauend, die Räume der $n$-Äquipartitionen für $d=2$ und $n=3$. Wir diskutieren auch das Problem von Nandakumar und Ramana Rao über "faire Aufteilungen von Polygonen'' und verschiedene äquivariante Abbildungen, die zeigen, dass es für dieses Problem ausreicht, reguläre Äquipartitionen zu betrachten.
ContentContents
Acknowledgements iii
1 Introduction 1
1.1 Overview of the thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Basic concepts 5
2.1 Convex sets and polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Cones and pointed cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Spherical convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Hyperplane arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 CW complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Convex n-partitions 11
3.1 Polyhedral structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Spherical representation and partitions of S^d . . . . . . . . . . . 12
3.3 Faces and the face poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Basic lemmas about faces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 CW complex structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Spaces of n-partitions 23
4.1 Metric structure, topology and compactification . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Hyperplane description and semialgebraic structure . . . . . . . . 26
4.3 Pointed partitions and node systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Combinatorial types and realization spaces . . . . . . . . . . . . . 43
4.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 Regular n-partitions 53
5.1 Dimension of the subspace of regular partitions . . . . . . . . . . 53
5.2 Generic and simple partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Universality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 Dimension of realization spaces 65
6.1 Partitions of the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Dual and bounded complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 Partitions of R^3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Spaces of equipartitions 79
7.1 Looking for fair partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2 3-equipartitions of R^2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.3 More examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8 Further questions 89
A Summaries 93
A.1 English Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A.2 Zusammenfassung auf Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.3 Resumen en español . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Documents
PDF-Datei
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Number of pagesVI, 101 S.
FU DepartmentDepartment of Mathematics and Computer Science
Year of publication2015
Document typeDoctoral thesis
Media type/FormatText
LanguageEnglish
Terms of use/Rights Nutzungsbedingungen
Date of defense2015-02-19
Created at2015-03-23 : 10:10:42
Last changed2015-03-25 : 01:29:22
 
Static URLhttp://edocs.fu-berlin.de/diss/receive/FUDISS_thesis_000000098945
NBNurn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000098945-1
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