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Free boundary problems governed by mean curvature
Volkmann, Alexander

Main titleFree boundary problems governed by mean curvature
Title variationsFreie Randwertprobleme und mittlere Krümmung
Author(s)Volkmann, Alexander
Place of birth: London, Großbritannien
1. RefereeProf. Dr. Gerhard Huisken
Further Referee(s)Dr. habil. Felix Schulze, Reader
Keywordsfree boundary; geometric inequalities; minimal surfaces; CMC surfaces; mean curvature flow; relative isoperimetric problem
Classification (DDC)515 Analysis
516 Geometry
SummaryIn der vorliegenden Arbeit betrachten wir drei freie Randwertprobleme für (Hyper-)Flächen welche durch die mittlere Krümmung der (Hyper-)Fläche beschrieben werden:

1. "Eine Monotonieformel für Flächen mit freiem Rand bezüglich der Einheitskugel"
Wir beweisen eine Monotonieidentität für kompakte Flächen mit freien Rändern in dem Rand der Einheitskugel des Rn welche quadratisch integrierbare mittlere Krümmung besitzen.
Als eine Konsequenz erhalten wir eine Ungleichung vom Li-Yau Typ für diesen Fall, wodurch wir Resultate von
Oliveira und Soret, und Fraser und Schoen verallgemeinern.
Im Anschluss leiten wir einige scharfe geometrische Ungleichungen für kompakte Flächen mit freien Rändern in beliebigen orientierbaren Stützflächen der Klasse C2 her. Außerdem erhalten wir eine scharfe untere Schranke an die L1-Tangentialpunktenergie für geschlossene Kurven im R3, wodurch wir eine Frage von Strzelecki, Szumańska, und von der Mosel beantworten.

2. "Relative isoperimetrische Eigenschaften asymptotisch flacher Stützflächen"
Wir definieren einen Massebegriff von asymptotisch flachen Hyperflächen S des euklidischen Raums und beweisen ein positive-Masse-Theorem in allen Dimensionen.
Im Anschluss leiten wir eine freie-Randwert-Version einer Obstruktion her, welche von Schoen und Yau in ihrem Beweis des positive-Masse-Theorems entdeckt, und durch Eichmair und Metzger, und sehr kürzlich von Carlotto verfeinert wurde: positive mittlere Krümmung von S in R3 ist nicht kompatibel mit der Existenz (gewisser) stabiler Minimalflächen mit freiem Rand.
Wir benutzen dies dann um zu zeigen, dass für gegebenes Kompaktum K des R3, alle stabilen Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung und freiem Rand bezüglich S mit hinreichend großer Randkurvenlänge K entgehen, wodurch wir eine freie-Randwert-Version des Hauptresultats in [Eichmair-Metzger, 2012] erhalten.
Schließlich, inspiriert durch Ideen von Eichmair und Metzger, beweisen wir die Existenz von beliebig großen isoperimetrischen Mengen relativ zu S.

3. "Schwache Lösungen vom nichtlinearen Mittleren Krümmungsfluss mit Neumann Randwerten"
Wir schlagen einen neuen Flussansatz vor um relative isoperimetrische Ungleichungen zu erhalten.
Als ersten Schritt dieses Programms entwickeln wir ein schwache Niveauflächenformulierung für den Fluss entlang der mittleren Krümmung und entlang positiver Potenzen der mittleren Krümmung mit Neumann Randwerten.
Wir beweisen die Existenz von schwachen Lösungen unter natürlichen Bedingungen an die Stützfläche und leiten einige Eigenschaften der evolvierenden Flächen her.
Der Fall für Flächen ohne Rand wurde von Schulze behandelt.
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PDF-Datei von FUDISS_thesis_000000098728
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Number of pages102 S.
FU DepartmentDepartment of Mathematics and Computer Science
Year of publication2015
Document typeDoctoral thesis
Media type/FormatText
LanguageEnglish
Terms of use/Rights Nutzungsbedingungen
Date of defense2015-01-23
Created at2015-02-19 : 02:41:01
Last changed2015-02-23 : 10:11:52
 
Static URLhttp://edocs.fu-berlin.de/diss/receive/FUDISS_thesis_000000098728
NBNurn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000098728-1
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